課程大綱

課程資訊

課程名稱	以機率方法探討平面統計物理 Planar Statistical Physics Using Probabilistic Approaches
開課學期	111-1
授課對象	理學院數學研究所
授課教師	李志煌
課號	MATH5276
課程識別碼	221 U9300
班次
學分	3.0
全/半年	半年
必/選修	選修
上課時間	星期二3,4(10:20~12:10)星期四3(10:20~11:10)
上課地點	天數302天數302
備註	總人數上限：30人外系人數限制：4人

課程簡介影片
核心能力關聯	本課程尚未建立核心能力關連
課程大綱
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課程概述	在這門課中，我們會討論不同平面統計物理的模型，其中最重要的例子是伯努力滲透模型 (Bernoulli percolation) 及易辛模型 (Ising model)。我們會以嚴謹的數學方式證明相變結果，並且討論不同模型在相變點的行為。若時間允許，我們也會討論這些模型在相變點的保角不變性質。
課程目標	1. 定義統計物理中常見的模型，例如伯努力滲透模型 (Bernoulli percolation) 及易辛模型 (Ising model)。 2. 建立機率工具以探討這些模型的相變現象，並且專注在平面的情況。 3. 討論這些模型在臨界點以下、臨界點以及臨界點以上的不同行為。 4. 如果時間允許，了解在臨界點時的保角不變性質。
課程要求	機率論一（含測度論）
預期每週課後學習時數
Office Hours
指定閱讀
參考書目	[1] H. Duminil-Copin, Parafermionic observables and their applications to planar statistical physics models, vol. 25, Ensaios Matematicos [Mathematical Surveys], Sociedade Brasileira de Matematica, Rio de Janeiro, 2013, pp. ii+371. [2] G. Grimmett, Percolation, Second, vol. 321, Fundamental Principles of Mathematical Sciences, Springer-Verlag, Berlin, 1999.
評量方式 (僅供參考)

課程進度

週次	日期	單元主題
第1週	9/6	自迴避路徑：定義及組合性質、劣加性引理、普遍性的概念、猜想。
第1週	9/8	自迴避路徑：在熱力學極限下的猜想及已知結果，六角網格上連通常數的證明準備，定義類費米觀測量。
第2週	9/13	自迴避路徑：類費米觀測量的局部離散的全純性質、配分函數在 $x_c$ 的行為。
第2週	9/15	自迴避路徑：配分函數在 $x < x_c$ 的行為，完成六角網格上連通常數的證明。
第3週	9/20	自迴避路徑：弱自迴避路徑及樞紐演算法。
第3週	9/22	伯努力滲透模型：模型定義、滲透函數的定義及性質。
第4週	9/27	伯努力滲透模型：習題討論、連續與不連續相變、無窮連通元件的唯一性。
第4週	9/29	伯努力滲透模型：無窮連通元件的唯一性、對偶模型。
第5週	10/4	伯努力滲透模型：迴圈模型、遞增事件、Harris 不等式、BK 不等式。
第5週	10/6	伯努力滲透模型：Russo 公式、$\chi(p)$ 函數、介紹指數遞減性質、證明 $p_c = \tfrac12$。
第6週	10/11	伯努力滲透模型：探索過程、指數遞減證明。
第6週	10/13	伯努力滲透模型：習題討論。
第7週	10/18	伯努力滲透模型：連通元件大小、關聯長度、連通函數、Russo-Seymour-Welsh 性質介紹。
第7週	10/20	伯努力滲透模型：Bollobás-Riordan 引理及應用。
第8週	10/25	伯努力滲透模型：習題討論、$p_c = \tfrac12$ 的另外證明、Cardy 公式背景及敘述。
第8週	10/27	伯努力滲透模型：Smirnov 定理證明準備、探索過程、Hölder 連續性。
第9週	11/01	伯努力滲透模型：Smirnov 定理證明、顏色置換引理、路徑積分引理、解 Dirichlet-Neumann 邊界問題。
第10週	11/08	隨機連通元件模型：定義、Potts 模型、Edwards-Sokal 耦合。
第10週	11/10	隨機連通元件模型：Edwards-Sokal 耦合的應用、Swendsen-Wang 演算法。
第11週	11/15	隨機連通元件模型：Holley 準則及應用、FKG 不等式。
第11週	11/17	隨機連通元件模型：無窮圖上的隨機連通元件測度。
第12週	11/22	隨機連通元件模型：無窮圖上的隨機連通元件測度、相變化、對偶模型、已知結果。
第12週	11/24	易辛模型：定義、高溫展開。
第13週	11/29	易辛模型：低溫展開、Krammers-Wannier 對偶關係、Peierls 論述、圖的完美匹配。
第14週	12/06	易辛模型：關聯函數以 Toeplitz 行列式表示。
第14週	12/08	易辛模型：Toeplitz 行列式、總結。